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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 14

Nos Exercícios 13-16, derive as funções e determine o coeficiente angular da tangente no valor dado da variável independente.

k x = 1 2 + x ,       x = 2

Passo 1

Vamos relembrar como calculamos a derivada de uma função, que é utilizando a equação.

k ' x = d y d x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função f x na equação acima:

d y d x = lim h → 0 ⁡ 1 2 + x + h - 1 2 + x h

Substituindo h = 0 nessa equação vemos que não dá muito bom.

d y d x = lim h → 0 ⁡ 1 2 + x + h - 1 2 + x h = 1 2 + x + 0 - 1 2 + x 0 = 0 0

Por isso devemos fazer algumas mexidas para ver se saímos dessa chatice. Podemos fazer o MMC para facilitar a conta:

d y d x = lim h → 0 ⁡ 2 + x - 2 + x + h 2 + x 2 + x + h h

d y d x = lim h → 0 ⁡ 2 + x - 2 + x + h h 2 + x 2 + x + h

d y d x = lim h → 0 ⁡ 2 + x - 2 - x - h h 2 + x 2 + x + h

d y d x = lim h → 0 ⁡ - h h 2 + x 2 + x + h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

d y d x = lim h → 0 ⁡ - 1 2 + x 2 + x + h

d y d x = - 1 2 + x 2 + x + 0

d y d x = - 1 2 + x 2

Passo 4

Por fim só falta substituir o x dado na equação que a gente encontrou acima.

m = k ' 2 = - 1 2 + 2 2 = - 1 4 2 = - 1 16

Resposta

m = - 1 16

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Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' x0 para x0 , f ' x0 para 0x2 e f ' x0 para x2 .
Seja g x = x + 1 ,s e x1 - x + 3 ,s e x ≥ 1 a ) Esboce o gráfico de g . b ) g é derivável em p = 1 ? Por quê? .
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e contínua em R , tal que f ' ( 1 ) não exista.
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' x0 para todo x .
Construa uma função f : R → R que seja contínua em R e que seja derivável em todos os pontos, exceto nos números inteiros.