Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e contínua em R , tal que f'(1) não exista.

Passo 1

O exercício pede uma função definida e contínua, mas que em x = 1 a derivada não exista. Mas o que isso significa? Significa que em x = 1 ela tem um bico! Dá uma espiada nesse gráfico aqui embaixo:

A função (em vermelho) está toda definida, até em x = 1 . Mas antes desse ponto, a reta tangente é decrescente (em verde). E depois é crescente (em azul). Daí você se pergunta: mas isso não acontece com uma parábola no entorno da raiz? E você está certo! Acontece sim! Mas é suave! Aqui temos um bico, uma mudança “instantânea” na declividade da função. E lembrando que a derivada é a inclinação da reta tangente, num bico não temos como “equilibrar” uma reta, não é mesmo? Então ali, em x = 1 a derivada não existe.

Resposta

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