Nos exercícios 1-34, calcule o limite, se existir.

9. lim x → 0 + ⁡ t g   x . ln ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, de início já podemos ver que temos que arranjar um jeito de resolver esse limite aí, uma vez que não podemos substituir o limite direto porque ln ⁡ 0 não existe. A trigonometria nos diz que:

c o t g   x = 1 t g   x

Então podemos tirar isso aqui dessa expressão acima:

t g   x = 1 c o t g   x

Substituindo no limite, teremos:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x c o t g   x

Passo 2

Po, mas por que escrever o limite como uma divisão? Se fizermos isso, podemos utilizar a regra de L’Hôspital, isto é, derivar a o numerador e o denominador da fração até chegarmos em um limite de fato. Derivando, teremos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - c o s s e c 2 x

Sabendo que c o s s e c 2 x = 1 s e n 2 x , então teremos:

lim x → 0 + ⁡ - 1 x . s e n 2 x 1

Utilizando as propriedades de limites, teremos:

- l i m x → 0 + s e n   x . l i m x → 0 + s e n   x x

Aqui nós temos que lembrar que l i m x → 0 + s e n   x x = 1 . Dessa forma, nosso resultado será:

- l i m x → 0 + s e n   x . l i m x → 0 + s e n   x x = 0.1 = 0

∴ lim x → 0 + ⁡ t g   x . ln ⁡ x = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ t g   x . ln ⁡ x = 0

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