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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 32

Use a regra de L’Hôpital para determinar o limite:

lim x → ∞ ⁡ log 2 ⁡ x log 3 ⁡ ( x + 3 )

Passo 1

A regra de L’Hôpital estabelece que para limites indeterminados, temos que lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )   . Então, vamos verificar a indeterminação primeiro.

Se substituirmos o valor x = ∞ ficamos com ∞ ∞ (indeterminado). Assim, podemos derivar as duas funções e calcular o limite...

Passo 2

Fazemos a mudança de base...

lim x → ∞ ⁡ log 2 ⁡ x log 3 ⁡ ( x + 3 ) =   lim x → ∞ ⁡ ( ln ⁡ x ) ln ⁡ 2 ln ⁡ ( x + 3 ) ln ⁡ 3

Agora a gente retira a constante...

lim x → ∞ ⁡ ( ln ⁡ x ) ln ⁡ 2 ln ⁡ x + 3 ln ⁡ 3 = ln ⁡ 3 ln ⁡ 2 l i m x → ∞   ln ⁡ x ln ⁡ x + 3

Derivamos...

ln ⁡ 3 ln ⁡ 2 l i m x → ∞ 1 x 1 x + 3 = ln ⁡ 3 ln ⁡ 2 l i m x → ∞ x + 3 x =   ln ⁡ 3 ln ⁡ 2 1 = ln ⁡ 3 ln ⁡ 2  

Prontinho😊

Resposta

lim x → ∞ ⁡ log 2 ⁡ x log 3 ⁡ ( x + 3 ) =   ln ⁡ 3 ln ⁡ 2  

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Calcule o limite, se existir.underset(x - + oo)(lim) (ln (x + e^x))/(3 x)
Calcule o limite, se existir.underset(x - 0^+)(lim) (x)^(sin x)
Calcule o limite, se existir.underset(x - 0)(lim) (1 + sinh x)^((2)/(x))
Calcule o limite, se existir.underset(x - 0)(lim) [(cos x) e^((x^2)/(2))]^((4)/(x^4))
Se f (x) = {[[(x + 1)^(( ln k ) // x) , s e x != 0],[5 , s e x = 0]]) , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .