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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 13

Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (13) A parábola y = x 2 - 4 e y = 2 x - x ² .

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos os pontos de intersecção entre y = x 2 - 4 e y = 2 x - x ² . Assim:

x 2 - 4 = 2 x - x 2 2 x 2 - 2 x - 4 = 0 2 x 2 - x - 2 = 0 x = 2 x = - 1

Passo 2

Vamos calcular a área da região delimitada pelas duas funções.

A = ∫ - 1 2 - 2 x 2 + 2 x + 4 d x = - 2 3 x 3 + 2 x 2 2 + 4 x - 1 2 A = - 16 3 + 4 + 8 - 2 3 + 1 - 4 = 9

Passo 3

Calculando agora o valor de m x e m y .

m y = ∫ - 1 2 x - 2 x 2 + 2 x + 4 d x = 2 ∫ - 1 2 - x 3 + x 2 + 2 x d x m y = 2 - x 4 4 + x 3 3 + x ² - 1 2 = 2 - 2 4 4 + 2 3 3 + 2 2 + - 1 4 4 - - 1 3 3 - ( - 1 ) ² m y = 9 2

m x = - ∫ - 1 2 2 x - 4 - 2 x 2 + 2 x + 4 d x = 2 ∫ - 1 2 - x 3 + 3 x 2 - 4 d x m x = 2 - 1 4 x 4 + x 3 - 4 x - 1 2 = 2 - 4 + 8 - 8 - - 1 4 - 1 + 1 m x = - 27 2

Passo 4

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

y - = 1 A * 9 2 = 1 9 * 9 2 y - = 1 2

x - = 1 A m y = 1 9 * - 27 2 x - = - 3 2

Resposta

O centróide está localizado no ponto - 3 2 , 1 2 .

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33. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região compreendida pelas parábolas y = 2 x 2 e y = 3 - x 2 .
35. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região "triangular" no primeiro quadrante, limitada pelo eixo y , pela parábola y = x 2 / 4 e pela reta y = 4 .
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). i ) ρ = 2 - cos ⁡ θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). g ) ρ = cos ⁡ 3 θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). o ) ρ = cos 2 ⁡ θ