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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 7

Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (7) A parábola y = 4 - x ² e o eixo x .

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos os pontos de intersecção entre y = 4 - x ² e o eixo x . O eixo x pode ser representado pela expressão y = 0 , pois só tratamos dos valores que estão nele. Assim:

4 - x 2 = 0 x 2 = 4 x = ± 2

Passo 2

Vamos calcular a área da região delimitada elas duas funções.

A = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 4 - m i 2 ∆ i x = ∫ - 2 2 4 - x 2 d x = 4 x - x 3   3 - 2 2 A = 4 * 2 - 2 3 3 - 4 * - 2 - - 2 3 3 A = 8 - 8 3 + 8 - 8 3 A = 32 3

Passo 3

Calculando agora o valor de m x .

m x = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 1 2 4 - m i 2 2 ∆ i x = 1 2 ∫ - 2 2 4 - x 2 2 d x = 1 2 ∫ - 2 2 16 - 8 x 2 + x 4 d x m x = 1 2 16 x - 8 x 3 3 + x 5 5 - 2 2 = 1 2 16 * 2 - 8 * 2 3 3 + 2 5 5 - 16 * - 2 + 8 * - 2 3 3 - - 2 5 5 m x = 256 15

Passo 4

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

y = 1 A m x = 3 32 * 256 15 y = 8 5

Resposta

O centróide está localizado no ponto 0 , 8 5 .

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