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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 2

Sejam n um natural ímpar e f x = sen ⁡ x . Mostre que, para todo x ,

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !

Passo 1

Vamos achar o polinômio de Taylor de ordem n + 1 de f x em volta de x 0 = 0 :

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Calculando as derivadas de f x e aplicando ao ponto x 0 = 0 vamos ter:

f x = sen ⁡ x → f 0 = 0

f ' x = f ' sen ⁡ x = cos ⁡ x → f ' 0 = 1

f ' ' x = f ' ' cos ⁡ x = - sen ⁡ x → f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = f ' ' ' - sen ⁡ x = - cos ⁡ x → f ' ' ' 0 = - 1

f 4 x = f 4 - cos ⁡ x = - - sen ⁡ x = sen ⁡ x → f 4 0 = 0

f 5 x = f 5 sen ⁡ x = cos ⁡ x → f 5 0 = 1

Passo 2

Substituindo ficamos com:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n 0 n ! x - 0 n =

= 0 + 1 x + 0 2 x 2 + - 1 3 ! x 3 + 0 4 ! x 4 + 1 5 ! x 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 n ! x - 0 n = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ - 1 n - 1 2 x n n !  

Assim temos que:

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ - 1 n - 1 2 x n n ! = f n + 2 x - n + 2 ! x n + 2

Como f n + 2 x - ≤ 1 , temos que a desigualdade é válida.

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1. f x = 1 x - 2 ; a = 1 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.3 .f x = x 3 2 ; a = 4 ; n = 3 .
30. Prove o Teorema 11.5.2.
29. Aplique a fórmula de Taylor para expressar o polinômio P x = x 4 - x 3 + 2 x 2 - 3 x + 1 como um polinômio em potências de x - 1 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1 1 .f x = l n ⁡ ( c o s x ) ; a = π 3 ; n = 3 .