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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1b

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado.

f x = cos ⁡ x e x 0 = 0

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 5 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada quinta de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = cos ⁡ x → f 0 = 1

f ' x = f ' cos ⁡ x = - sen ⁡ x → f ' 0 = 0

f ' ' x = f ' ' - sen ⁡ x = - cos ⁡ x → f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = f ' ' ' - cos ⁡ x = - - sen ⁡ x = sen ⁡ x → f ' ' ' 0 = 0

f 4 x = f 4 sen ⁡ x = cos ⁡ x → f 4 0 = 1

f 5 x = f 5 cos ⁡ x = - sen ⁡ x → f 5 0 = 0

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5 =

= 1 + 0 ⋅ x + - 1 2 x 2 + 0 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + 0 5 ! x 5 = 1 - x 2 2 + x 4 4 !

Resposta

P x = 1 - x 2 2 + x 4 4 !

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = (1)/(1 - x^2) e x_0 = 0