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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1e

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado.

f x = 1 + x α e x 0 = 0 , onde α ≠ 0 é um real dado.

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 5 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada quinta de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = 1 + x α → f 0 = 1

f ' x = f ' 1 + x α = α 1 + x α - 1 → f ' 0 = α

f ' ' x = f ' ' α 1 + x α - 1 = α α - 1 1 + x α - 2 → f ' ' 0 = α α - 1

f ' ' ' x = f ' ' ' α α - 1 1 + x α - 2 = α α - 1 α - 2 1 + x α - 3 → f ' ' ' 0 = α α - 1 α - 2

f 4 x = f 4 α α - 1 α - 2 1 + x α - 3 = α α - 1 α - 2 α - 3 1 + x α - 4 → f 4 0 = α α - 1 α - 2 α - 3

f 5 x = f 5 α α - 1 α - 2 α - 3 1 + x α - 4 = α α - 1 α - 2 α - 3 α - 4 1 + x α - 5 → f 5 0 = α α - 1 α - 2 α - 3 α - 4

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5 =

= 1 + α x + α α - 1 2 x 2 + α α - 1 α - 2 3 ! x 3 + α α - 1 α - 2 α - 3 4 ! x 4 + α α - 1 α - 2 α - 3 α - 4 5 ! x 5 = 1 + α x + α α - 1 2 x 2 + α α - 1 α - 2 3 ! x 3 + α α - 1 α - 2 α - 3 4 ! x 4 + α α - 1 α - 2 α - 3 α - 4 5 ! x 5

Resposta

P x = 1 + α x + α α - 1 2 x 2 + α α - 1 α - 2 3 ! x 3 + α α - 1 α - 2 α - 3 4 ! x 4 + α α - 1 α - 2 α - 3 α - 4 5 ! x 5

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Mostre que, para 0= x = 1 : 0= e^x -(1 + x + (x^2)/(2)) = (x^3)/(2)
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = sqrt(x) e x_0 = 4
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
Mostre que para todo x |sen x - x| = (1)/(3 !) |x|^3