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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1a

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado.

f x = sen ⁡ x e x 0 = 0

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 5 vamos ter:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada quinta de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = sen ⁡ x → f 0 = 0

f ' x = f ' sen ⁡ x = cos ⁡ x → f ' 0 = 1

f ' ' x = f ' ' cos ⁡ x = - sen ⁡ x → f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = f ' ' ' - sen ⁡ x = - cos ⁡ x → f ' ' ' 0 = - 1

f 4 x = f 4 - cos ⁡ x = - - sen ⁡ x = sen ⁡ x → f 4 0 = 0

f 5 x = f 5 sen ⁡ x = cos ⁡ x → f 5 0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5 =

= 0 + 1 x + 0 2 x 2 + - 1 3 ! x 3 + 0 4 ! x 4 + 1 5 ! x 5 = x - x 3 3 ! + x 5 5 !

Resposta

P x = x - x 3 3 ! + x 5 5 !

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Expresse e x 2 e cos ⁡ x como polinômios de Maclaurin de grau 4 e use-os para calcular lim x → 0 ⁡ e x 2 - cos ⁡ x x 4
Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada. f x = x - 1 2 a = 9 n = 4
Sejam n um natural ímpar e f x = sen ⁡ x . Mostre que, para todo x , sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !
Avalie sen ⁡ 1 com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 . (Sugestão: utilize o Exercício 2 .)