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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 46

Uma empresa estima que em t anos o número de seus empregados será N t = 1000 0,8 t 2

a ) Quantos empregados a empresa espera ter em 4 anos?

b ) Com que taxa estará variando o número em 4 anos?

Passo 1

Letra a

Primeiramente, vamos escrever aqui a função que ele deu:

N t = 1000 0,8 t 2

Só para limpar essa bagunça de texto.

Ele quer o número de empregados com t = 4

N 4 = 1000 0,8 4 2

N 4 = 1000 0,8 2

N 4 = 1000 0,64

N 4 = 640

Passo 2

Letra b

Agora ele pede a taxa, isso é o mesmo que a derivada.

Então temos que achar

N ' 4

Primeiro temos que achar a derivada, e para isso temos que lembrar que:

a t ' = a t ln ⁡ a

Além disso, tem um t 2 ali, então devemos usar a regra da cadeia, olha só:

N ' t = 1000 0,8 t 2 ' = 1000 ∙ 0,8 t 2 ∙ ln ⁡ 0,8 ∙ t 2 ' = 1000 ∙ 0,8 t 2 ∙ ln ⁡ 0,8 ∙ 1 2

N ' t = 500 ln ⁡ 0,8 ∙ 0,8 t 2

Passo 3

Agora, vamos ter

N ' 4 = 500 ln ⁡ 0,8 ∙ 0,8 4 2

N ' 4 = 500 ln ⁡ 0,8 ∙ 0,8 2

N ' 4 = 500 ln ⁡ 0,8 ∙ 0,64

N ' 4 = 320 ln ⁡ 0,8

Resposta

Letra a

N 4 = 640

Letra b

N ' 4 = 320 ln ⁡ 0,8

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