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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 3

Avalie sen ⁡ 1 com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 . (Sugestão: utilize o Exercício 2 .)

Passo 1

Vamos achar o polinômio de Taylor de ordem n + 1 de f x em volta de x 0 = 0 :

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Calculando as derivadas de f x e aplicando ao ponto x 0 = 0 vamos ter:

f x = sen ⁡ x → f 0 = 0

f ' x = f ' sen ⁡ x = cos ⁡ x → f ' 0 = 1

f ' ' x = f ' ' cos ⁡ x = - sen ⁡ x → f ' ' 0 = 0

f ' ' ' x = f ' ' ' - sen ⁡ x = - cos ⁡ x → f ' ' ' 0 = - 1

f 4 x = f 4 - cos ⁡ x = - - sen ⁡ x = sen ⁡ x → f 4 0 = 0

f 5 x = f 5 sen ⁡ x = cos ⁡ x → f 5 0 = 1

Passo 2

Substituindo ficamos com:

P x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ' ' ' 0 3 ! x - 0 3 + f 4 0 4 ! x - 0 4 + f 5 0 5 ! x - 0 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n 0 n ! x - 0 n =

= 0 + 1 x + 0 2 x 2 + - 1 3 ! x 3 + 0 4 ! x 4 + 1 5 ! x 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 n ! x - 0 n = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ - 1 n - 1 2 x n n !  

Assim temos que:

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ - 1 n - 1 2 x n n ! = f n + 2 x - n + 2 ! x n + 2

Como f n + 2 x - ≤ 1 , temos que:

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !

Passo 3

Agora aplicando o valor 1 :

sen ⁡ 1 - 1 - 1 3 3 ! + 1 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 1 n n ! ≤ 1 n + 2 !

Temos que achar o valor de n , aqui vamos fazer por tentativa, de modo que 1 n + 2 ! < 10 - 5 :

n = 1 → 0,16 7

n = 2 → 0 , 0416 7

n = 3 → 0 , 0083 3

n = 4 → 0 , 00138 9

n = 5 → 0 , 00019 8

n = 6 → 0 , 00002 4

Temos então que n = 5 , substituindo:

- 1 5 - 1 2 x 5 5 ! = x 5 5 !

Assim:

P x = x - x 3 3 ! + x 5 5 !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1 2 .f x = e - x 2 ; a = 0 ; n = 3 .
Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada. f x = 1 + x 2 - 1 a = 1 n = 3
Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada. f x = cos ⁡ x a = 0 n = 6
Aplique a fórmula de Taylor para expressar o polinômio P x = 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 1 Como um polinômio em potências de x + 2
Se os quatro primeiros termos do polinômio de Maclaurin forem usados para aproximar o valor de e , qual será a precisão do resultado?