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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 6a

V e r i f i q u e q u e e^x = 1 + x + (1)/(2) x^2 + o ( x^2 )

Passo 1

Utilizando a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f (x) = e^x

f^' (x) = e^x

f^(' ') (x) = e^x

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 = 0 , além de f ( x_0 )

f (0) = e^0

f (0) = 1

f ' ( 0 ) = e^0

f^' (0) = 1

f^(' ') (0) = e^0

f^(' ') (0) = 1

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = 1 + 1 (x - 0) + (1)/(2) (x - 0)^2

O polinômio vai ficar:

P_2 (x) = 1 + x + (x^2)/(2)

Passo 4

Para o resto infinitesimal, temos que

o (x^2) = underset(x -> 0)(lim) (E (x))/(x^2) = 0 underset(x -> 0)(lim) (f (x) - P (x))/(x^2) underset(x -> 0)(lim) (e^x - (1 + x + (x^2)/(2)))/(x^2) (0)/(0)

Vamos aplicar L’Hospital até sair desta indeterminação

underset(x -> 0)(lim) (e^x - 1 - x)/(2 x) (0)/(0)

underset(x -> 0)(lim) (e^x - 1)/(2) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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