Enunciado

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

14. f x = 1 - x - 1 2 ; a = 0 ; n = 3

Passo 1

Para determinarmos o polinômio de Taylor de enésimo grau da função f do número a e R n ( c ) chamado de resto, o que precisamos fazer é aplicar nessa fórmula aqui ó:

P n x = f 0 + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n

Lembrando que essa expressão só é válida para a = 0 , como é o nosso caso. Ademais, para o resto temos:

R n x = f n + 1 ξ n + 1 ! . x - a n + 1

Sendo assim, precisamos determinar algumas derivadas de f ( x ) , certo? Botando mãos a obra, teremos:

f ' x = 1 2 . 1 - x - 3 2

f ' ' x = 1 2 . - 3 2 . 1 - x - 5 2 . - 1 = 3 4 . 1 - x - 5 2

f ' ' ' x = 3 4 . - 5 2 . 1 - x - 7 2 . - 1 = 15 8 . 1 - x - 7 2

f 4 x = 15 8 . - 7 2 . 1 - x - 9 2 . - 1 = 105 8 . 1 - x - 9 2

Passo 2

Se aplicarmos os resultados dessas derivadas na fórmula de Taylor, sabendo que a = 0 , teremos:

f 0 = 1 - 0 - 1 2 = 1

f ' 0 1 ! . x = 1 2 . 1 - 0 - 3 2 = 1 2 x

f ' ' 0 2 ! . x 2 = 3 4 . 1 - x - 5 2 2 ! = 3 8 x ²

f ' ' ' 0 3 ! . x 3 = 15 8 . 1 - 0 - 7 2 3 ! = 15 48 x ³

f 4 ξ 4 ! . x 4 = 105 8 . 1 - ξ - 9 2 4 ! = 105 192 1 - ξ - 9 2 . x 4

Passo 3

Por fim, basta substituirmos os resultados lá no polinômio de Taylor comentado no passo 1, saca só:

P n x = f 0 + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n

P 3 x = 1 + 1 2 + 3 8 x 2 + 15 48 x 3

No qual o resto será:

R 3 x = 105 192 1 - ξ - 9 2 . x 4

No qual ξ está entre 0 e x .

Resposta

P 3 x = 1 + 1 2 + 3 8 x 2 + 15 48 x 3

R 3 x = 105 192 1 - ξ - 9 2 . x 4

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