Enunciado

Nos Exercícios 1-4, r ( t ) é a posição de uma partícula no plano x y no instante t . Encontre uma equação em x e y cujo gráfico seja a trajetória da partícula. Em seguida, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula no valor determinado de t.

1 .     r t = t + 1 i + t 2 - 1 j ,     t = 1

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, esse primeiro bloco de questões nós vamos utilizar o conceito de parametrização, isso porque temos o vetor posição e suas coordenadas em função de t . O que faremos inicialmente será determinar o paramêtro em função da coordenada que ele está e depois construir uma função de x e y. Ficando assim:

x = t + 1

y = t 2 - 1

Isso são as funções agora precisamos pelo método da substituição eliminar o parâmetro t ficando:

y = x - 1 2 - 1 = x 2 - 2 x

Passo 2

Então pessoal agora precisamos do vetor velocidade da partícula, como já temos o vetor posição dado em função do tempo, o que podemos fazer é calcular a derivada da posição em função do tempo, isso vai resultar no vetor velocidade ficando:

v = d r d t

Como é uma derivida vetorial, podemos derivar cada componente individualmente, isso vai resultar no vetor velocidade assim:

d r d t = i + 2 t j

Passo 3

Galerinha agora o próximo passo é calcular o vetor aceleração que pode ser observado de duas formas, podemos calcular a derivada segunda do vetor posição, ou simplesmente derivar a velocidade em relação ao tempo. Faremos a segunda opção ficando:

a = d v d t

Como é um vetor, a derivada é de cada uma das componentes:

d v d t = 2 j

Resposta

Como queremos os valores de velocidade e aceleração para um determinado instante de tempo: Nesse caso t = 1

Velocidade:

v = i + 2 j

Aceleração:

a = 2 j

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Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por:(g)l → t = t i → + sen ⁡ t j → + 2 k →
Sejam f → t = a → t + b → t 2 e g → t = t i → + s e n ⁡ t j → + cos ⁡ t k → , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular:(c) f → t × g → ( t )
Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por:(c)h → t = t i → + j → + 4 t 2 k →
Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por:(f)r → t = t i → + 9 - t j → + t 2 k →
Esboçar a trajetória de uma partícula P , sabendo que seu movimento é descrito por: g → t = 2 t i → + 2 t + 1 j →