Nos Exercícios 15-18, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo dado.

15-

Em torno do eixo x

Passo 1

Como nos foi mandado rotacionar em torno do eixo x vamos isolar y da equação pois ele será nosso raio.

x + 2 y = 2

2 y = 2 - x

y = 1 - x 2

Passo 2

Como em x o gráfico foi limitado de 0 a 2 temos nossa integral.

V = ∫ 0 2 π 1 - x 2 2 d x

Tirando a constante da integral e abrindo nosso raio temos:

V = π ∫ 0 2 x 2 4 - x + 1 d x

Fazendo a integral temos:

V = π x 3 12 - x 2 2 + x 0 2

Passo 3

Substituindo os parâmetros:

V = π 8 12 - 4 2 + 2 - π [ 0 ]

O que nos dá:

V = π 2 3 - 2 + 2 = 2 π 3

Resposta

V = 2 π 3

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