Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y

x = raiz(5) * y^2

x = 0

y = -1

y = 1

Passo 1

A curva que ele deu é:

x = 5 y 2

Essa curva é uma parábola com eixo ao longo do eixo x . Aqui estamos trabalhando com funções em y porque vamos rotacionar ao redor do eixo y .

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de y = - 1 até y = 1 . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de y :

r y = 5 y 2

O volume vai ser:

V = ∫ - 1 1 π 5 y 2 2 d y

V = ∫ - 1 1 5 π y 4 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ - 1 1 5 π y 4 d y

V = 5 π ∫ - 1 1 y 4 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ y 4 d y = y 5 5 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = 5 π ∫ - 1 1 y 4 d y = 5 π y 5 5 - 1 1 =

5 π 1 5 5 - 5 π - 1 5 5 =

5 π 5 - - 5 π 5

π + π

2 π

Resposta

2 π

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