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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 33

Nos Exercícios 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

∫ v 2 d v 1 - v 2 5 / 2

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é uma mudança de variável. Como o exercício fala que a maioria será substituição trigonométrica, vamos tentar alguma primeiro.

v = sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d v = cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ v 2 d v 1 - v 2 5 2 = ∫ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ 1 - sin 2 ⁡ θ 5 2

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Assim,

∫ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ 1 - sin 2 ⁡ θ 5 2 = ∫ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ 5 2 = ∫ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ cos 5 ⁡ θ

Rearranjando a integral:

∫ sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ cos 5 ⁡ θ = ∫ sin 2 ⁡ θ d θ cos 4 ⁡ θ = ∫ sin 2 ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = ∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora, precisamos fazer uma nova mudança de variável:

u = tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ u 2 d u

Calculando a integral:

∫ u 2 d u = u 3 3 + C

Em seguida, precisamos reverter para a variável original:

u 3 3 = tan 3 ⁡ θ 3 = 1 3 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 3 = 1 3 sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 3 = 1 3 sin ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ 3 = 1 3 v 1 - v 2 3 + C

Resposta

1 3 v 1 - v 2 3 + C

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