77. Se x 4 ≤ f x ≤ x 2 para x em [ - 1,1 ] e x 2 ≤ f x ≤ x 4 para x < - 1 e x > 1 , em que pontos c você conhece automaticamente que lim x → c ⁡ f ( x ) ? O que se pode dizer sobre o valor do limite nesses pontos?

Passo 1

Vamos olhar para os gráficos das funções x 2 e x 4 :

Nós sabemos que f ( x ) está entre os dois gráficos:

Abaixo de x 4 e acima de x 2 entre - 1 e 1

E abaixo de x 2 e acima de x 4 para valores menores que - 1 e maiores que 1

Portanto, só iremos conseguimos saber algo do limite de lim x → c ⁡ f ( x ) quando x estiver tendendo a - 1 ,   0 ,   1 . Pois nesses pontos f ( x ) vai valer o mesmo valor que x 2 e x 4 .

Passo 2

Podemos mostrar isso algebricamente:

lim x → c ⁡ f x só ira ser conhecido quando lim x → c ⁡ x 4 = lim x → c ⁡ x 2

Pois quando isso acontece lim x → c ⁡ f x = lim x → c ⁡ x 4 = lim x → c ⁡ x 2 , então

lim x → c ⁡ x 4 = lim x → c ⁡ x 2

c 4 = c 2

c 4 - c 2 = 0

c 2 c 2 - 1 = 0

Então

c 2 = 0

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c = 0

Ou

c 2 - 1 = 0

c 2 = 1

c = ± 1

c = ± 1

Passo 3

O valor do limite nesses pontos vai ser de

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ x 4 = lim x → 0 ⁡ x 2

lim x → c ⁡ f x = 0

e

lim x → - 1 ⁡ f x = lim x → - 1 ⁡ x 4 = lim x → - 1 ⁡ x 2

lim x → 1 ⁡ f x = - 1 4 = - 1 2

lim x → 1 ⁡ f x = 1

e

lim x → 1 ⁡ f x = lim x → 1 ⁡ x 4 = lim x → 1 ⁡ x 2

lim x → 1 ⁡ f x = 1 4 = 1 2

lim x → 1 ⁡ f x = 1

Resposta

c = - 1 ,   0   o u   1

lim x → c ⁡ f x = 0

lim x → 1 ⁡ f x = lim x → - 1 ⁡ f x = 1

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