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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 44

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ 1 - ln ⁡ x 2 x ln ⁡ x d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável.

ln ⁡ x = sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x x = cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ 1 - ln ⁡ x 2 x ln ⁡ x d x = ∫ 1 - ln ⁡ x 2 ln ⁡ x ∙ d x x = ∫ 1 - sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Assim,

∫ 1 - sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = ∫ 1 - sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Passo 3

Separando em dois termos:

∫ csc ⁡ θ d θ - ∫ sin ⁡ θ d θ

Vamos agora multiplicar em cima e embaixo por csc ⁡ θ + cot ⁡ θ o primeiro termo:

∫ csc ⁡ θ d θ ∙ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ = ∫ csc 2 ⁡ θ + csc ⁡ θ cot ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ d θ

Agora, precisamos fazer mais uma mudança de variável:

w = csc ⁡ θ + cot ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d w = - csc ⁡ θ cot ⁡ θ - csc 2 ⁡ θ d θ

- d w = csc ⁡ θ cot ⁡ θ + csc 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Colocando na integral:

∫ csc 2 ⁡ θ + csc ⁡ θ cot ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ d θ - ∫ sin ⁡ θ d θ = - ∫ d w w - ∫ sin ⁡ θ d θ

Calculando a integral:

- ∫ d w w - ∫ sin ⁡ θ d θ = - ln ⁡ w + cos ⁡ θ + C

Revertendo para a variável original:

- ln ⁡ w + cos ⁡ θ + C = - ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ + cos ⁡ θ + C

- ln ⁡ csc ⁡ arcsin ⁡ ln ⁡ x + cot ⁡ arcsin ⁡ ln ⁡ x + cos ⁡ arcsin ⁡ ln ⁡ x + C

- ln ⁡ 1 ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x 2 ln ⁡ x + 1 - ln ⁡ x 2 + C

Resposta

1 2 ln ⁡ 1 + x 4 + x 2 + C

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