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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 38

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ 1 e d y y 1 + ln ⁡ y 2

Passo 1

Vamos começar mudando a variável.

u = ln ⁡ y

Derivando dos dois lados:

d u = d y y

Agora precisamos transformar os limites superior e inferior para a nova variável:

y = 1 → u = ln ⁡ 1 = 0

y = e → u = ln ⁡ e = 1

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ 1 e d y y 1 + ln ⁡ y 2 = ∫ 1 e 1 1 + ln ⁡ y 2 ∙ d y y = ∫ 0 1 d u 1 + u 2

Agora faremos uma nova mudança de variável:

u = tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Transformando os limites superior e inferior para a nova variável:

u = 0 → θ = arctan ⁡ 0 = 0

u = 1 → θ = arctan ⁡ 1 = π / 4

Passo 3

Colocando na integral:

∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ θ d θ 1 + tan 2 ⁡ θ

Lembrando das relações trigonométricas:

sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ

Assim,

∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ θ d θ 1 + tan 2 ⁡ θ = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ θ d θ sec ⁡ θ = ∫ 0 π / 4 sec ⁡ θ d θ

Passo 4

Vamos agora multiplicar em cima e embaixo por sec ⁡ θ + tan ⁡ θ :

∫ 0 π / 4 sec ⁡ θ d θ ∙ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ = ∫ 0 π / 4 sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ

Agora, precisamos fazer mais uma mudança de variável:

w = sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d w = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ d θ

Transformando os limites superior e inferior para a nova variável:

θ = 0 → w = sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 = 1

θ = π 4 → w = sec ⁡ π / 4 + tan ⁡ π / 4 = 2 + 1

Passo 5

Colocando na integral:

∫ 1 2 + 1 sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 + 1 d w w

Calculando a integral:

∫ 1 2 + 1 d w w = ln ⁡ w 1 2 + 1 = ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 2 + 1

Resposta

ln ⁡ 2 + 1

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