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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 71

Calcule a integral :

int (d x)/(x (x^2 + 1)^2)

Passo 1

Galera, o primeiro passo em questões de integral é identificar o método de integração que devemos utilizar para resolver a integração.

Show! Sabendo disso, o que devemos fazer para resolver a integral acima? Será que podemos utilizar uma substituição trigonométrica??

A resposta é sim!!!!

Lembre que:

sqrt(x^2 + a^2) -> x = atan theta

x^2 + a^2 -> x^2 = a^2 tan^2 theta -> x = a tan theta

Então, vamos substituir, beleza????

x = tan theta

d x = sec^2 theta d theta

int (sec^2 theta d theta)/(tan theta ( tan^2 theta + 1 )^2)

Passo 2

Agora, precisamos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

1 + tan^2 theta = sec^2 theta

v = 1 + u -> d v = d u

int (sec^2 theta d theta)/(tan theta ( sec^2 theta )^2) = int (d theta)/(tan theta sec^4 theta) = int (d theta)/(tan theta . sec^2 theta) = int (cos^3 theta)/(sin theta) d theta = int (1 - sin^2 theta)/(sin theta) . sin theta d theta

= ln sin theta - (1)/(2) sin^2 theta + C

Passo 3

Agora, devemos voltar para a variável “x”, beleza??

= ln |(x)/(sqrt(x^2 + 1))| - (1)/(2) ((x)/(sqrt(x^2 + 1)))^2 + C

Resposta

int (d x)/(x (x^2 + 1)^2) = ln |(x)/(sqrt(x^2 + 1))| - (1)/(2) ((x)/(sqrt(x^2 + 1)))^2 + C

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