Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

c) h(x) = (1/3)x^3 + 3x^2 - 7x + 9

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:

h ' x = x 2 + 6 x - 7

Igualando a zero:

x 2 + 6 x - 7 = 0

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a = - 6 + 6 2 - 4.1 . ( - 7 ) 2.1 = 2 2 = 1

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a = - 6 - 6 2 - 4.1 . ( - 7 ) 2.1 = - 7

Então x = 1 e x = - 7 são os pontos críticos da nossa função.

Passo 2

Uma vez descoberto os pontos críticos da nossa função, devemos utilizar o teste da derivada segunda para saber se os pontos são de máximos ou de mínimos, tudo bem? Se a derivada segunda no ponto crítico for MAIOR do que zero, então se trata de um ponto de mínimo. Caso contrário, se a derivada segunda no ponto crítico for MENOR do que zero, então se trata de um ponto de máximo. Sendo assim, se derivarmos nossa função pela segunda vez, teremos:

h ' ' x = 2 x + 6

h ' ' 1 = 2.1 + 6 = 8 > 0

h ' ' - 7 = 2 . - 7 + 6 = - 8 < 0

Portanto, podemos concluir que x = 1 é um ponto de mínimo e x = - 7 é um ponto de máximo! Resumindo, temos que:

Pontos de máximo: x = - 7 ;

Pontos de mínimo: x = 1 .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, x = - 7 é um ponto de máximo e x = 1 é, de fato, um ponto de mínimo!

E essa é a nossa análise da função, pessoal!

Resposta

Pontos de máximo: x = - 7 ;

Pontos de mínimo: x = 1 .

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