Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 9a
Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.
a)
Passo 1
Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Sendo assim, derivando nossa função para obter os pontos críticos, obteremos:
Igualando a zero:
Então apenas é um ponto crítico da nossa função.
Passo 2
Uma vez descoberto os pontos críticos da nossa função, devemos utilizar o teste da derivada segunda para saber se os pontos são de máximos ou de mínimos, tudo bem? Se a derivada segunda no ponto crítico for MAIOR do que zero, então se trata de um ponto de mínimo. Caso contrário, se a derivada segunda no ponto crítico for MENOR do que zero, então se trata de um ponto de máximo. Sendo assim, se derivarmos nossa função pela segunda vez, teremos:
Portanto, podemos concluir que é um ponto de mínimo! Resumindo, temos que:
Pontos de máximo: Não existem.
Pontos de mínimo: .
Passo 3
Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:
Observando o gráfico podemos concluir que nosso resultado é bem satisfatório! Assim como calculamos, é, de fato, um ponto de mínimo!
E essa é a nossa análise da função, pessoal!
Resposta
Pontos de máximo: Não existem.
Pontos de mínimo: .
