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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-6, use a definição para calcular as derivadas das funções. Depois determine os valores das derivadas, conforme especificado.

k z = 1 - z 2 z ;         k ' - 1 ,   k ' 1 ,   k ' 2

Passo 1

Vamos lembrar como calculamos a derivada de uma função utilizando a definição.

k ' z = lim h → 0 ⁡ k z + h - k z h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função k z na equação acima:

k ' z = lim h → 0 ⁡ 1 - ( z + h ) 2 z + h - 1 - z 2 z h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim.

k ' z = lim h → 0 ⁡ 1 - ( z + h ) 2 z + h - 1 - z 2 z h = 1 - ( z + 0 ) 2 z + 0 - 1 - z 2 z 0 = 0 0

Por isso a gente tem que fazer algumas manipulações para fugir desse problema. Primeiro vamos fazer o MMC no numerador:

k ' z = lim h → 0 ⁡ 1 - z - h 2 z - 1 - z 2 z + 2 h 4 z z + h 4 h z z + h

k ' z = lim h → 0 ⁡ 1 - z - h 2 z - 1 - z 2 z + 2 h 4 h z z + h

Passo 3

Agora vamos fazer o chuveirinho

k ' z = lim h → 0 ⁡ 2 z - 2 z 2 - 2 h z - 2 z - 2 h + 2 z 2 + 2 h z 4 h z z + h

k ' z = lim h → 0 ⁡ - 2 h 4 h z z + h

Passo 4

Em seguida cortamos o termo h , ok?

k ' z = lim h → 0 ⁡ - 2 4 z z + h = - 2 4 z 2 = - 1 2 z 2

Passo 5

Por fim precisamos substituir os valores de z na função que encontramos:

k ' z = - 1 2 z 2

k ' - 1 = - 1 2 - 1 2 = - 1 2

k ' 1 = - 1 2 1 2 = - 1 2

k ' 2 = - 1 2 2 2 = - 1 4

Resposta

k ' z = - 1 2 z 2

k ' - 1 = - 1 2

k ' 1 = - 1 2

k ' 2 = - 1 4

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Calcule f ' ( x ) , pela definição. f )f x = 10
Calcule f ' ( x ) , pela definição. g )f x = x x + 1
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' 1 = 0 .
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' 0f ' ( 1 ) para todo x .
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' x0 para x1 , f ' x0 para x1 .