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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 4d

Calcule f^' ( p ) , pela definição, sendo dados

d ) f (x) = (1)/(x) ; p = 1

Passo 1

Usando a definição de derivada (ou seja f^' ( x ) ) temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h) = underset(x -> p)(lim) (f (x) - f ( p ))/((x - p))

Passo 2

Sabendo que f (x) = 1 // x e que f (p = 1) = (1)/(1) = 1 , podeos usar a definição de derivada:

f^' (1) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(x + h) - 1)/(h)

Se substituímos o h aqui teremos uma indeterminação, logo vamos precisar de algumas manipulações matemáticas:

f^' (1) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(1 + h) - 1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(1 + h) - 1) (1)/(h)

f^' (1) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(1 + h) - (1 + h)/(1 + h)) (1)/(h)

f^' (1) = underset(h -> 0)(lim) ((- h)/(1 + h)) (1)/(h)

Agora podemos cortar o h e resolver:

f^' (1) = underset(h -> 0)(lim) (- 1)/(1 + h) = (- 1)/(1)

Logo temos que a derivada é:

f^' (1) = - 1

Resposta

f^' (1) = - 1

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