Determine a equação da reta tangente em ( p ,   f ( p ) ) sendo dados

c )   f x = x ;     p = 9

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui vamos ter que achar a reta tangente no ponto p = 2 .

Para quem não lembra, a equação da reta tangente em ( p ,   f ( p ) ) é:

y - f p = f ' p x - p

Então precisamos determinar os valores de f ( p ) e f ' ( p ) .

Passo 2

Primeiro vamos calcular a f ( p ) . Aqui temos f x = x e p = 9 :

f 3 = 9 = 3

Passo 3

Agora vamos ao cálculo da derivada f ' 9 . Pegando a definição de derivada e o valor de f ( 9 ) calculado no passo anterior.

Pela definição de derivada, temos,

f ' p = lim x → p ⁡ f x - f p x - p

Aplicanndo para o nosso problema,

f ' 9 = lim x → 9 ⁡ f x - f 9 x - 9 = lim x → 9 ⁡ x - 3 x - 9

Para resolver esse limite, vamos reescrever o denominador como produto notável

= lim x → 9 ⁡ x - 3 x - 3 ( x + 3 )

Simplificando ao máximo temos:

f ' 9 = lim x → 9 ⁡ 1 x + 3

Quando x → 9 a derivada de f assume o valor de:

f ' 9 = 1 9 + 3 = 1 6

Passo 4

Show! Agora é só juntarmos todos os resultados e substituir na equação da reta tangente lá do passo 1 :

y = f ' p x - p + f ( p )

y = 1 6 x - 9 + 3

Assim temos que a equação da reta tangente é:

y = x 6 + 3 2

Resposta

y = x 6 + 3 2

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