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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 6g

Calcule f^' ( x ) , pela definição.

g ) f (x) = (x)/(x + 1)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos ter que resolver essa derivada usando a definição! Para quem não lembra, a fórmula é essa:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h)

Aplicando para nossa função, ficamos com

Agora sim vou lembrar da definição de derivada f^' ( x ) :

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((x + h)/(x + h + 1) - (x)/(x + 1))/(h)

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo (0)/(0) .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 2

Então vamos trabalhar um pouco essa fração. Somando 1 e substraindo 1 no numerador (olha o truque sujo!!):

f (x) = (x + 1 - 1)/(x + 1)

E separando em duas frações teremos:

f (x) = 1 - (1)/(x + 1)

E é essa função que vou substituir no limite agora

Passo 3

Então agora temos que f (x) = 1 - (1)/(x + 1) e f (x + h) = 1 - (1)/(x + 1 + h) , então substituindo na definição temos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (1 - (1)/(x + 1 + h) - [1 - (1)/(x + 1)])/(h)

Trabalhando o numerador teremos:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (((x + 1 + h) - (x + 1))/((x + 1) (x + h + 1)))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((h)/((x + 1) (x + h + 1)))/(h)

Podemos reescrever a função assim e simplicar o h ,

= underset(h -> 0)(lim) (h)/(( x + 1 ) ( x + h + 1 )) . (1)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (1)/(( x + 1 ) ( x + h + 1 ))

Quando h -> 0 o valor de f^' ( x ) é:

f^' (x) = (1)/(( x + 1 )^2)

Resposta

f^' (x) = (1)/(( x + 1 )^2)

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