Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 20
Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada.
20.
Passo 1
Bom, nessa derivada vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia algumas vezes. Primeiro vamos aplicar para a função que está ‘mais de fora’, que será a potência quadrada, fazemos a derivada dela:
Então substituímos o x pela função de dentro, e depois multiplicamos pela derivada dessa função, vai ficar assim:
Passo 2
Agora vamos resolver a nova derivada que apareceu usando a Regra da Cadeia de novo. Pegamos a função de fora primeiro e fazemos a derivada:
Substituímos x pela função de dentro, e multiplicamos pela derivada dela:
Passo 3
Dessa vez a derivada que apareceu precisa da Regra do Produto para ser resolvida:
Então fica:
A primeira derivada é simples:
E a próxima vai precisar que a gente use a Regra da Cadeia duas vezes. Seguindo o mesmo raciocínio que usamos nos passos anteriores, primeiro a derivada da função de fora:
Substituímos x pela função de dentro e multiplicamos pela sua derivada:
Precisamos aplicar a Regra da Cadeia de novo nesse cosseno, mas nesse caso é mais simples e vamos fazer diretamente:
Substituindo:
Passo 4
Agora a gente volta tudo substituindo cada resultado que conseguimos nas derivadas que estávamos precisando, a nossa Regra do Produto do Passo 3 era:
E fica:
Mais uma vez substituiremos esse resultado lá na conta do Passo 2, que era:
E fica:
E por último substituiremos isso no que estava faltando no Passo 1 que era:
E então fica: