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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1g

Calcule:

int_0^(- oo) x e^(- x^2) d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(- oo) x e^(- x^2) d x = underset(A -> - oo)(lim) int_0^A x e^(- x^2) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, aplicando a substituição

{[[u ( x ) = x^2],[d u = 2 x d x => x d x = (d u)/(2)]])

Com os limites

{[[u (0) = 0],[u (A) = A^2]])

Temos então

underset(A -> - oo)(lim) int_0^A x e^(- x^2) d x = underset(A -> - oo)(lim) int_0^(A^2) e^(- u) (d u)/(2)

= underset(A -> - oo)(lim) [- (e^(- u))/(2)]_0^(A^2) = underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(2 e^u)]_0^(A^2)

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(2 e^(A^2)) + (1)/(2 e^0)] = underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(2 e^(A^2)) + (1)/(2)]

Com A -> - oo ao quadrado A^2 -> + oo e a sua exponencial e^(A^2) -> + oo , logo a primeira fração vai para zero e temos que

underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(2 e^(A^2)) + (1)/(2)] = (1)/(2)

Resposta

(1)/(2)

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