Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 64
Uma lata fechada com um volume de deve ter a forma de um cilindro circular reto. Se a tampa e a base, ambas circulares, forem cortadas de pedaços quadrados de lata, ache o raio e a altura da lata, de forma que seja usado o mínimo de material em sua fabricação. Inclua o material desperdiçado na tampa e na base.
Passo 1
Vamos começar lembrando que o volume de um cilindro com raio da base e altura tem volume . A questão disse que a lata terá volume , então podemos escrever:
Precisaremos de dois quadrados de lado para formar a tampa e a base. A área desses 2 quadrados será um total de e a área lateral da lata será . A área total da lata será:
Mas sabemos quem é . Então,
Temos a área total da lata em função do raio.
Passo 2
Agora basta derivar, igualar a e verificar quando essa área é mínima.
Agora perceba que se , então e se , . Isso indica que a menor área ocorre quando .
A altura será .
Portanto, o raio será e a altura se for usada a menor quantidade de material para construir a lata. O material desperdiçado esta incluído.