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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.11 - Ex. 29

Nos Exercícios 19-38, determine d y .

29-

y = 3 c o s s e c ( 1 - 2 sqrt(x) )

Passo 1

Assim como no exercício 28, temos que lembrar que a cossecante é a inversa do seno

c o s s e c (x) = (1)/(s i n ( x ))

Então podemos escrever a função da seguinte forma:

y = (3)/(sin ( 1 - 2 sqrt(x) ))

Passo 2

Fazendo a derivada da função temos:

(d y)/(d x) = 3 xx ((1 ' ( sin (1 - 2 sqrt(x)) - 1 ( sin (1 - 2 sqrt(x))^' ')/(sin^2 (1 - 2 sqrt(x))))

Fazendo a operação da regra do quociente temos:

(d y)/(d x) = 3 xx ((0 - cos (1 - 2 sqrt(x)) xx - (2)/(2 sqrt(x)))/(sin^2 (1 - 2 sqrt(x))))

Preste atenção nos sinais, principalmente o sinal dentro do cosseno!

Passo 3

Arrumando a cara da nossa equação diferencial nós temos:

(d y)/(d x) = (3)/(sqrt(x)) ((c o s ( 1 - 2 sqrt(x) ))/(sin^2 ( 1 - 2 sqrt(x) )))

Porém note que podemos arrumar a equação da seguinte forma:

(d y)/(d x) = (3)/(sqrt(x)) xx ((c o s ( 1 - 2 sqrt(x))/(s i n ( 1 - 2 sqrt(x))) xx ((1)/(sin (1 - 2 sqrt(x))))

Além de passarmos o d x para o outro lado podemos notar que (3)/(sqrt(x)) multiplica a cotangente com a cossecante.

Resposta

d y = ((3)/(sqrt(x)) xx c o t g (1 - 2 sqrt(x)) xx c o s s e c (1 - 2 sqrt(x))) d x

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