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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 13

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

13. r = 1 - s e n θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Primeiro vamos encontrar   d r d θ :

d r d θ = - c o s θ

Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:

t g α = - t g θ c o s θ + 1 - s e n θ - c o s θ - 1 - s e n θ t g θ

Passo 2

Para obtermos as retas horizontais, precisamos igualar o numerador da equação acima a zero, para que a inclinação seja zero e a reta horizontal:

- t g θ c o s θ + 1 - s e n θ = 0

Reescrevendo:

- s e n θ c o s θ c o s θ + 1 - s e n θ = 0

s e n θ = 1 2 → θ = π 6   e   θ = 5 π 6

Agora podemos obter o valor de r:

r = 1 - 1 2 = 1 2

As coordenadas cartesianas para θ = π 6 serão:

x = 1 2 c o s π 6 = 3 4

y = 1 2 s e n π 6 = 1 4

E para θ = 5 π 6 :

x = 1 2 c o s 5 π 6 = - 3 4

y = 1 2 s e n 5 π 6 = 1 4

Os pontos onde a reta horizontal tangencia a curva serão: 3 4 , 1 4   e   - 3 4 , 1 4

Passo 3

Para as retas verticais, precisamos igualar o denominador da equação de inclinação a zero, pois assim a inclinação tende a infinito:

- c o s θ - 1 - s e n θ t g θ = 0

Reescrevendo:

- c o s θ - 1 - s e n θ s e n θ c o s θ = 0

- c o s 2 θ - 1 - s e n θ s e n θ = 0

- c o s 2 θ - s e n θ + s e n 2 θ = 0

Utilizando a relação trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

c o s 2 θ = 1 - s e n 2 θ

Ficaremos então com:

s e n 2 θ - 1 - s e n θ + s e n 2 θ = 0

2 s e n 2 θ - s e n θ - 1 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara (o valor positivo foi descartado do resultado da fórmula pois não é um ponto por onde passa uma reta tangente vertical):

s e n θ = 1 - 3 4 = - 1 2 → θ = 7 6 π   e   θ = 11 6 π

Agora podemos determinar r:

r = 1 + 1 2 = 3 2

As coordenadas cartesianas para θ = 7 6 π   s e r ã o :

x = 3 2 c o s 7 6 π = - 3 3 4

y = 3 2 s i n 7 6 π = - 3 4

E para θ = 11 6 π :

x = 3 2 c o s 11 6 π = 3 3 4

y = 3 2 s i n 11 6 π = - 3 4

Os pontos onde as retas verticais tangenciam a curva serão - 3 3 4 , - 3 4   e   3 3 4 , - 3 4

Passo 4

O esboço do gráfico será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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