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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 60

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 1 + 2 c o s θ

θ = π 3

Passo 1

Do enunciado temos:

r = 1 + 2 c o s θ

Lembrando das relações

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Fazemos a substituição de r nas equação x e y :

x = 1 + 2 c o s θ c o s θ

y = 1 + 2 c o s θ s e n θ

Passo 2

Vamos derivar x em relação a θ .

Para x :

d x d θ = d ( 1 + 2 c o s θ c o s θ ) d θ

Pela a regra do produto diz que para derivar f ( x ) ⋅ g ( x ) , onde f ( x ) e g ( x ) são funções de x , usamos a fórmula:

( f ⋅ g ) ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Vamos aplicar essa regra à nossa expressão:

f ( θ ) = 1 + 2 c o s ( θ )

g ( θ ) = c o s ( θ )

Derivadas das Funções:

f ' ( θ ) = d θ d ​ ( 1 + 2 c o s ( θ ) ) = - 2 s e n ( θ )   (derivada do cosseno)

g ' ( θ ) = d θ d ​ ( c o s ( θ ) ) = - s i n ( θ ) (derivada do cosseno)

Aplicação da Regra do Produto:

f ⋅ g ' = ( 1 + 2 c o s ( θ ) ) ( - s i n ( θ ) ) + ( 1 + 2 c o s ( θ ) ) ( c o s ( θ ) )

d x d θ = 1 + 2 c o s θ - s e n θ + c o s θ ( - 2 s e n θ )

Passo 3

Vamos derivar y em relação a θ .

Para y :

d y d θ = d ( 1 + 2 c o s θ s e n θ ) d θ

Pela a regra do produto diz que para derivar f ( x ) ⋅ g ( x ) , onde f ( x ) e g ( x ) são funções de x , usamos a fórmula:

( f ⋅ g ) ' = f ' ⋅ g + f ⋅ g '

Vamos aplicar essa regra à nossa expressão:

f ( θ ) = 1 + 2 c o s ( θ )

g ( θ ) = s e n ( θ )

Derivadas das Funções:

f ' θ = d ​ 1 + 2 c o s θ d θ   = 0 - 2 s e n θ = - 2   s e n ( θ ) (derivada do cosseno)

g ' ( θ ) = d ( s e n ⁡ θ ) d θ = c o s ⁡ ( θ )   ( d e r i v a d a   d o   s e n o )

Aplicação da Regra do Produto:

f ⋅ g ' = - 2 sen ⁡ θ s e n θ + 1 + 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ

Temos então:

f ⋅ g ' = 1 + 2 c o s θ c o s θ + s e n θ ( - 2 s e n θ )

Passo 4

Agora vamos utilizar as equações do Passo 1 e do Passo 2, para calcularmos a equação da reta tangente.

d y d x = d y d θ d θ d x = 1 + 2 c o s θ c o s θ + s e n θ ( - 2 s e n θ ) 1 + 2 c o s θ - s e n θ + c o s θ ( - 2 s e n θ )

Passo 5

Substituindo o valor de θ = π 3 , obtemos.

d y d x = d y d θ d θ d x = 1 + 2 c o s π 3 c o s π 3 + s e n π 3 - 2 s e n π 3 1 + 2 c o s π 3 - s e n π 3 + c o s π 3 ( - 2 s e n π 3 )

d y d x = 1 + 2 cos ⁡ 60 ° c o s 60 ° + s e n   60 ° ( - 2 s e n   60 ° ) 1 + 2 c o s   60 ° - s e n   60 ° + c o s   60 ° ( - 2 s e n   60 ° )

Para cos ⁡ 60 ° = 1 2 e s e n   60 ° = 3 2

= 1 + 2 . 1 2 . 1 2   + 3 2 ( - 2 . 3 2 ) 1 + 2 .   1 2 - 3 2 + 1 2 . ( - 2 . 3 2 )

= 1 + 1 . 1 2 - 3 2 3 1 + 1 - 3 2 + 1 2 . - 3

= 1 - 3 2 - 3 - 3 2

Aplicando o MMC para facilitar a resolução:

= 1 - 3 2 - 3 - 3 2

= - 1 2 - 2 3 - 3 2 = - 1 - 3 3

Realizando a racionalização de denominadores

= 1 3 3 . 3 3 3 3 = 3 3 27 = 3 9

Com isso a inclinação da reta tangente é d y d x = 3 9

Resposta

Para θ = π 3 a inclinação da reta tangente é 3 9 .

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