Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 12
Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? A questão dá pra gente a curva definida por
E nos pede para que encontremos
E
Mas como fazemos isso? A derivada de uma curva definida por equações paramétricas é descrita da seguinte forma
E, além disso, a derivada segunda pode ser respresentada assim
De forma que, usando a mesma fórmula da derivada de primeira ordem, temos
Assim, só precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessas fórmulas!
Em seguida a questão ainda pergunta quais valores de tornam nossa curva côncava para cima, isto é, quais pontos de tornam a seguinte expressão verdadeira
Então para responder essa pergunta só precisamos resolver essa inequação!
Passo 2
Seja
Encontrando a derivada de
Agora a derivada de
Substituindo na fórmula
Passo 3
Buscamos agora
Então, vamos pegar a derivada e derivar em relaç��o a e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de em relação a nós já temos.
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Já temos tudo, então agora é só substituir.
Passo 5
Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, precisamos fazer
Esse numerador é sempre maior do que zero porque tem um termo ao quadrado somado com uma constante.
Então, essa derivada segunda vai ser maior do que zero quando o denominador for menor do que zero, por causa desse sinal de menos que tem na frente. Assim,
Resposta
A concavidade da curva é para cima quando .