Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 20

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

20.

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

Reescrevendo a tangente como , e reorganizando os termos:

Precisamos então calcular como tem uma potência quadrada no r, a equação da derivada ficará:

Multiplicando e dividindo a equação da inclinação por r:

Substituindo os nossos resultados:

Simplificando o 9 e reescrevendo:

Passo 2

As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois assim a inclinação será zero e a reta será horizontal:

Outro valor onde :

E também:

Substituindo os valores de na equação de r, primeiro para :

E as coordenadas cartesianas para r positivo serão:

Para r negativo:

Para , r terá raiz negativa, então iremos descartar esse ponto.

E para , os resultados serão os mesmos que para , a diferença é que as coordenadas cartesianas terão valores diferentes, mas corresponderiam à mesma reta, pois as retas cruzam a curva em dois pontos.

Passo 3

Para as retas verticais, precisamos igualar o denominador a zero, para que a inclinação tenda para infinito:

E outro possível resultado:

A equação de r para , será:

Para r positivo teremos as seguintes coordenadas cartesianas:

E para r negativo:

Para , a equação de r assumirá valores complexos, então não corresponderá a um valor de uma reta tangente. Logo, os pontos (-3, 0) e (3, 0), serão os pontos onde as retas verticais tangenciam a curva.