Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 10.2 - Ex. 20

Encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.

Passo 1

Olá, meu amigooo. A gente tem aqui a curva com parametrização:

E a gente tem que encontrar pontos onde uma reta tangente a essa curva é horizontal ou vertical.

A reta tangente é horizontal quando

E vertical quando

Então, vamos achar essas derivadas, igualas a zero para encontrar os valores de em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva para encontrar os pontos correspondentes.

Passo 2

Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.

Vamos então aplicar a derivada e então igualar a zero:

Temos que o cosseno nesse valor é o de:

Passo 3

Substituindo na parametrização da curva, temos:

Vamos utilizar a relação:

Então temos:

Para o :

Aqui, depende de . Se é ímpar, então:

Se for par:

Portanto, a reta tangente é horizontal no ponto

Passo 4

Agora vamos descobrir quando a reta tangente é vertical.

Passo 5

Substituindo na parametrização da curva, temos:

O valor de depende de . Se é ímpar então . Se for par então .

Portanto, a reta tangente é vertical no ponto

O valor de depende também de , se :

Se :

E se :

À medida que vamos avançando, essa estratégia se repete. Portanto se é ímpar temos pontos:

Se é par nós temos pontos:

Passo 6

Bom, vamos plotar essa curva no Winplot também só pra você ver como é a cara doidinha dela e tentar imaginar as retas tangentes nos pontos que a gente achou aí na questão: