Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 10
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes
10.
Passo 1
Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:
Encontrando
Substituindo r e o que achamos acima:
Passo 2
Primeiro encontraremos os pontos das retas horizontais, para isso precisamos igualar o numerador da equação acima a 0, pois a reta horizontal possui inclinação zero:
Reescrevendo:
Substituindo através da relação trigonométrica:
Ficaremos com:
Aplicando a Fórmula de Bhaskara (anulando o valor negativo para a raiz, pois não está definido):
Assim podemos determinar o valor de r para:
E poderemos determinar as coordenadas cartesianas do ponto:
Para :
Nos pontos , passam duas retas horizontais tangentes à curva.
Passo 3
Para as retas verticais, o denominador da equação da inclinação deve ser zero, pois a inclinação deve tender para infinito:
Agora podemos calcular o valor de r:
E nas coordenadas cartesianas:
Outro valor em que o denominador é 0, é , nesse caso teremos:
E as coordenadas cartesianas serão:
Logo, nos pontos existirão retas verticais tangentes à curva.
Passo 4
O esboço do gráfico será:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)