Encontre d y / d x e d 2 y / d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t 2 + 1, y = e t - 1

d y d x = e t 2 t d 2 y d x 2 = e t ( t - 1 ) 4 t 3 Para valores de t0 ou t1

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 14

Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Aqui nessa questão nós precisamos encontrar as derivadas da função até a segunda ordem. Com isso, vamos saber dizer para quais valores de a curva tem concavidade para cima. Isso será feito pela análise do sinal da derivada segunda.

A curva é côncava quando

Vamos lá derivar?

Passo 2

Para encontrarmos , temos que lembrar que e .

Se usarmos a regra da cadeia, obtemos:

Agora derivamos e com relação a :

Substituindo esses resultados na primeira equação, obtemos:

Passo 3

Para encontrar e derivamos novamente, mas agora derivamos com relação a :

Vamos só melhorar um pouco essa expressão para facilitar a nossa análise:

A curva é côncava quando

E isso acontece quando:

Veja que o numerador é positivo para , enquanto o numerador é positivo para .

Então, a razão entre eles será positiva quando:

Resposta

Para valores de

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