Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 5
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de equações paramétricas aqui, vamos lá! De cara o enunciado pede para buscarmos a equação da tangente em um ponto da curva, ou seja, em algum momento vamos calcular a inclinação da reta (o famoso ). Mas por enquanto precisamos analizar o ponto dessa curva no parâmetro especificado.
O que acontece quando ? Substituindo esse valor nas funções paramétricas nós temos:
então
E igualmente:
logo
Ou seja, quando o parâmetro a curva está no ponto:
Passo 2
Já temos o ponto em que buscamos a equação da tangente, mas como encontrá-la? Podemos usar a seguinte fórmula geral:
Onde é o nosso ponto e é calculado da seguinte forma (usando a regra da cadeia):
Encontrando a derivada da função em relação a :
Encontrando a derivada da função em relação a :
E isso nos dá que:
Passo 3
Substituindo então para o ponto onde a gente vai ter:
Nos deixando com:
Agora, só precisamos substituir tudo na fórmula geral da tangente:
Assim, a equação da tangente à curva no ponto onde é: