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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 26

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme indicado. Para cada exercício, faça uma figura

mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

A região do Exercício 25; retângulos circunscritos.

(Região acima do eixo x e à direita da reta x   =   1 , limitada pelo eixo x , a reta x   =   1 e

a curva y   =   4   –   x ² )

Passo 1

Para começar vamos determinar as extremidades do nosso problema:

Nossa região está acima do eixo x sob a curva y = 4 - x ² no intervalo fechado 1,2 , já que a curva corta o eixo x no x   =   2 .

Dividindo f x = 4 - x ² em n subintervalos cada um com comprimento:

∆ x = 2 - 1 n = 1 n

Passo 2

Nosso i-ésimo subintervalo é [ x i - 1 , x i ] , onde i = 1 ,   2 ,   3 … ,   n .

Como o exercício nos pede a região por retângulos circunscritos e f é decrescente em nosso intervalo [ 1,2 ] , o valor máximo absoluto de f em [ x i - 1 , x i ] é f ( x i - 1 ) . Logo a nossa área é dada por:

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i - 1 ∆ x

Já que nosso intervalo começa em 1, teremos x i = 1 + ( i - 1 ) ∆ x .

Como f x = 4 - x ² ,

f x i - 1 = 4 -   x i - 1 ²

f x i - 1 = 4 - ( 1 + ( i - 1 ) ∆ x ) ²

Mas ∆ x = 1 n , assim:

f x i - 1 = 4 - 1 + ( i - 1 ) n ²

f x i - 1 = 3 - 2 i - 1 n - i - 1 2 n 2

Passo 3

Aplicando o somatório de todos os subintervalos:

∑ i = 1 n f x i - 1 ∆ x = ∑ i = 1 n 3 - 2 i - 1 n - i - 1 2 n 2 ⋅ 1 n

= ∑ i = 1 n 3 n - 2 n 2 ∑ i = 1 n i - 1 - 1 n 3 ∑ i = 1 n ( i 2 - 2 i + 1 )

Utilizando as regras da soma:

∑ k = 1 n a = a ⋅ n

∑ k = 1 n k = 1 2 n n + 1

∑ k = 1 n k 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

Chegamos a:

= 3 - 2 n 2 ⋅ n n + 1 2 + 2 n - 1 n 3 ⋅ n n + 1 2 n + 1 6 + 1 n

Finalmente, fazendo o limite quando n → + ∞ :

l i m n → ∞ 3 - 2 n 2 ⋅ n n + 1 2 + 2 n - 1 n 3 ⋅ n n + 1 2 n + 1 6 + 1 n

= l i m n → ∞ 3 - 1 + 1 n + 2 n - 1 6 1 + 1 n 2 + 1 n + 1 n

= 3 - 1 + 0 - 1 3 + 0 = 5 3

A área da região é 5 3 unidades de área.

Passo 4

A figura abaixo mostra em verde a região o i-ésimo retângulo inscrito, onde a base é dada por ∆ x começando em x i - 1 e terminando em x i .

Resposta

A = 5 3   unidades de área.

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