Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 48
Seja .
Use um para aproximar o valor máximo de em .
Qual é o tamanho de na aproximação trapezoidal de para garantir que o erro absoluto seja menor do que ?
Calcule a integral usando a aproximação trapezoidal com o valor de obtido em .
Passo 1
E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vem com a gente!!
Vamos resolver a primeira parte usando um (Sistema Algébrico Computacional) chamado Desmos para nos ajudar a estimar o valor máximo da segunda derivada da função dada.
Em seguida, precisamos estimar o valor de subdivisões para atender a uma precisão específica. Pra isso, temos que nos recordar da fórmula para estimativa do erro absoluto que, para a aproximação trapezoidal, é dada por:
Onde e são os intervalos de integração e é o valor máximo da segunda derivada da nossa função (iremos utilizar o valor encontrado na parte ).
Por último, lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:
Vamos resolvê-la com o valor de que encontrarmos antes.
Passo 2
Então, derivando a função iremos ter:
E derivando novamente:
Plotando o gráfico dessa função obtida no , conseguimos ver no intervalo no eixo :
Tal que o valor máximo de é .
Logo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de subdivisões da aproximação através de:
Tal que o erro absoluto deve ser menor do que .
Como , teremos:
Ou seja:
E, portanto:
Visto que deve ter um valor inteiro e par, temos que o menor número de subdivisões será:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a integral:
Através do método da aproximação pelo ponto médio. Logo:
Para facilitar o nosso cálculo, vamos montar uma tabela e calcular o valor de cada . Temos, então:
Tal que a aproximação será dada por:
Dessa forma, obtemos: