Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 41

A figura a seguir mostra um gráfico da curva velocidade v versus tempo t para um teste do automóvel B M W   335 i . Dê uma estimativa das velocidades em t = 0 ,   5 ,   10 ,   15 ,   20 ,   25   e   30   s a partir do gráfico, converta p é / s usando 1   m i l h a / h = 22 / 25   p é s / s e use essas velocidades e a regra de Simpson para aproximar o número de pés percorridos nos 30 primeiros segundos. Arredonde sua resposta até o pé mais próximo. [Sugestão: D i s t â n c i a   p e r c o r r i d a = ∫ 0 30 v t d t .]

Fonte: Dados da revista Car and Driver, setembro de 2010 .

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.

Pra estimar os valores da velocidade em cada tempo t , vamos observar os valores aproximados que a curva cruza em cada ponto do gráfico. Em seguida, pra converter a unidade de medida para p é s / s é só multiplicar o valor estimado do gráfico pela razão 22 / 1 5 .

E, lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:

S n = 1 3 b - a n y 0 + 4 y 1 + y 3 + … + y n - 1 + 2 y 2 + y 4 + … + y n - 2 + y n

Podemos montar uma tabela para cada valor de y (que é representado pelos valores da velocidade convertidos) nos n subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho.

Para esse caso temos os seguintes valores:

n = 6 ,   a = 0 ,   b = 30

Passo 2

Portanto, para cada valor do tempo t , iremos ter os seguintes resultados aproximados:

t = 0   s → v t = 0

t = 5   s → v t = 6 0   m i / h

t = 10   s → v t = 9 0   m i / h

t = 15   s → v t = 11 0   m i / h

t = 2 0   s → v t = 125   m i / h

t = 25   s → v t = 14 0   m i / h

t = 3 0   s → v t = 145   m i / h

E, multiplicando cada um desses valores pelo fator de conversão para p é s / s , teremos:

v 0 = 0

v 5 = 60 22 1 5 = 8 8   p é s / s

v 10 = 9 0 22 1 5 = 13 2   p é s / s

v 1 5 = 11 0 22 1 5 = 161,33   p é s / s

v 20 = 125 22 1 5 = 183,33   p é s / s

v 2 5 = 14 0 22 1 5 = 205,33   p é s / s

v 30 = 145 22 1 5 = 212,67   p é s / s

Passo 3

Pela sugestão dada no enunciado, a distância/número de pés percorridos pode ser dado pela integral:

∫ 0 30 v t d t

Isso pode ser representado pela aproximação pela regra de Simpson que tem a fórmula:

S n ≈ ∫ a b f x d x ∴ S n ≈ ∫ 0 30 v t d t

Montando a tabela para calcular a aproximação da distância, obtemos:

Então, a aproximação se dará por:

S 6 = 1 3 30 - 0 6 266 2

Portanto:

S 6 = 4436,6   p é s ≈ 4437   p é s

Resposta

443 7   p é s

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