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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 33

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme inficado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

33. A região limitada por y = x 3 + x , o eixo x e as retas x = - 2 e x = 1 ; retângulos circunscritos.

Passo 1

A região do exercício é:

A região e o i-ésimo retângulo circunscrito estão na figura. Porém no intervalo de [ - 2,0 ] a função é negativa, devido a isso vamos ter que calcular duas somas, uma para o intervalo em a função é positiva e outra para o que é negativa. No intervalo onde a função é negativa, iremos fazer a soma com o limite negativo para pegar o valor positivo da área.

Passo 2

Vamos começar calculando a área do intervalo [ - 2,0 ] .

Δ x = 0 - ( - 2 ) n = 2 n

f x i = - 2 + i 2 n ⏟ x i 3 + - 2 + i 2 n ⏟ x i = 8 i - n n 3 3 + 2 i - 2 n n 3

f x i = 8 ( i 3 - 3 i 2 n + 3 i n 2 - n 3 ) n 3 + 2 n 2 i - 2 n 3 n 3 = 8 i 3 - 24 n i 2 + 26 n 2 i - 10 n 3 n 3

A 1 = - lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = - lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 i 3 - 24 n i 2 + 26 n 2 i - 10 n 3 n 3 2 n  

A 1 = - lim n → + ∞ ⁡ 2 n 4 ∑ i = 1 n 8 i 3 - 24 n i 2 + 26 n 2 i - 10 n 3  

A 1 = - lim n → + ∞ 2 n 4 ⁡ 8 ∑ i = 1 n i 3 - 24 n ∑ i = 1 n i 2 + 26 n 2 ∑ i = 1 n i - 10 n 3 ∑ i = 1 n 1

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

∑ i = 1 n i 3 ⏞ I V = n 2 n + 1 2 4    

A 1 = - lim n → + ∞ 2 n 4 ⁡ 8 n 2 n + 1 2 4 - 24 n n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + 26 n 2 n ( n + 1 ) 2 - 10 n 3 n

A 1 = - lim n → + ∞ 2 n 4 ⁡ 2 n 2 n + 1 2 - 4 n 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 13 n 3 ( n + 1 ) - 10 n 4

A 1 = - 2 lim n → + ∞ ⁡ 2 n 2 n 2 1 + 1 n 2 - 4 n 2 n 2 1 + 1 n 2 + 1 n + 13 n 3 n 3 1 + 1 n - 10 n 4 n 4

A 1 = - 2 ⁡ 2 1 + 0 2 - 4 1 + 0 2 + 0 + 13 1 + 0 - 10

A 1 = - 2 ⁡ 2 - 8 + 13 - 10

A 1 = - ⁡ 2 2 - 4 + 4 - 2 = - 2 - 3 = 6

A 1 = 6   u . a

Portanto, essa é a área no intervalo [ - 2,0 ] .

Passo 3

Agora será a área do intervalo [ 0,1 ] .

Δ x = 1 - ( 0 ) n = 1 n

f x i = 0 + i 1 n ⏟ x i 3 + 0 + i 1 n ⏟ x i = i 3 n 3 + i n = i 3 + n 2 i n 3

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 3 + n 2 i n 3 1 n  

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n i 3 + n 2 i  

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n i 3 + n 2 ∑ i = 1 n i

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n i ⏞ = I n ( n + 1 ) 2                                 ∑ i = 1 n i 3 ⏞ I I = n 2 n + 1 2 4

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 n 2 n + 1 2 4 + n 2 n ( n + 1 ) 2

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ n 2 n 2 1 + 1 n 2 4 + n 3 n 3 1 + 1 n 2

A 2 = ⁡ 1 + 0 2 4 + 1 + 0 2

A 2 = ⁡ 1 4 + 1 2 = 3 4   u . a

Logo, a área A 2 é 3 4   u . a .

Passo 4

A área da região pedida é A = A 1 + A 2 = 6 + 3 4 = 27 4   u . a .

Resposta

A = 27 4   u . a

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