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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.1 - Ex. 15

Óleo vaza de um tanque a uma taxa de r t litros por hora. A taxa decresce à medida que o tempo passa e os valores da taxa em intervalos de duas horas são mostrados na tabela a seguir. Encontre estimativas superior e inferior para a quantidade total de óleo que vazou.

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos encontrar as estimativas superior e inferior para a quantidade total de óleo que vazou de um tanque a uma taxa de r t litros por hora.

Para isso, o enunciado nos deu a seguinte tabela que relaciona o tempo t (em horas) a taxa r t :

Para isso, precisamos analisar os pontos amostrais que estão na extremidade direita e esquerda.

Quer saber como? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Para encontrar uma estimativa podemos usar cinco das seis medidas que o problema nos forneceu, ok?

Se precisássemos do valor exato, aí sim, usaríamos todos os valores fornecidos.

Se já entendemos isso podemos passar para a próxima parte, achar uma estimativa inferior. Para isso vamos usar os pontos amostrais que estão na extremidade direita, por serem os menores que estão sendo apresentados:

L 5 = f x 2 . ∆ x + f x 3 . ∆ x + f x 4 . ∆ x + f x 5 . ∆ x + f x 6 . ∆ x

Isolando ∆ x :

L 5 = f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5 + f x 6 . ∆ x

Substituindo:

L 5 = 7,6 + 6,8 + 6,2 + 5,7 + 5,3 . 2 = 63,2   L

Perceba que colocamos Δ x = 2 porque o intervalo de tempo na tabela é dado de 2 em 2 horas 😉.

Passo 3

Agora vamos achar uma estimativa superior. Para isso vamos usar os pontos amostrais que estão na extremidade esquerda, por serem os maiores que estão sendo apresentados:

R 5 = f x 1 . ∆ x + f x 2 . ∆ x + f x 3 . ∆ x + f x 4 . ∆ x + f x 5 . ∆ x

Isolando ∆ x :

R 5 = f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 + f x 5 . ∆ x

Substituindo:

R 5 = 8,7 + 7,6 + 6,8 + 6,2 + 5,7 . 2 = 70   L

Tranquilinho, não é?! 😉

Resposta

L 5 = 63,2   L     e     R 5 = 70   L

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