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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 24

Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.24. x = y   ,     2 ≤ y ≤ 6 ;     e i x o   y

Passo 1

Essa questão não tem segredo, só precisamos aplicar a função na fórmula da área da superfície:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

A única diferença é que ela está em função de y e não o contrário, a equação fica:

S = ∫ a b 2 π f y 1 + f ' y 2 d y

Vamos derivar a função dada, para acharmos f ' y .

f ' y = 1 2 y

Aplicando na integral, com limites de integração a = 2 e b = 6 :

S = ∫ 2 6 2 π y   1 + 1 2 y 2 d y

S = ∫ 2 6 2 π y   1 + 1 4 y d y

S = ∫ 2 6 2 π y   4 y + 1 4 y d y

S = ∫ 2 6 2 π y 4 y + 1 2 y d y

S = π ∫ 2 6 4 y + 1 d y

Usando a técnica de substituição:

u = 4 y + 1

d u = 4 d y

Alterando os limites de integração:

Para y = 2 ⇒ u = 9 e para y = 6 ⇒ u = 25

Reescrevendo a equação:

S = π ∫ 9 25 u 4 d u

S = π 4 2 u 3 / 2 3 9 25

S = π 6 25 3 / 2 - 9 3 / 2

S = π 6 125 - 27

S = 98 π 6

S = 49 π 3

Resposta

S = 49 π 3

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