Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.23. x = raiz(4y - y^2), 1 ≤ y ≤ 2; e i x o y

Passo 1

Essa questão não tem segredo, só precisamos aplicar a função na fórmula da área da superfície:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

A única diferença é que ela está em função de y e não o contrário, a equação fica:

S = ∫ a b 2 π f y 1 + f ' y 2 d y

Vamos derivar a função dada, para acharmos f ' y .

Usando a regra da cadeia:

f ' y = 1 2 4 y - y 2 ⋅ 4 - 2 y

f ' y = 2 - y 4 y - y 2

Aplicando na integral, com limites de integração a = 0 e b = 1 :

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   1 + 2 - y 4 y - y 2 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   1 + y 2 - 2 y + 4 4 y - y 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   4 y - y 2 + y 2 - 4 y + 4 4 y - y 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   4 4 y - y 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   4 4 y - y 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 2 d y

S = 4 π y 0 1

S = 4 π 1 - 0

S = 4 π

Resposta

S = 4 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados