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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 23

Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.23. x = 4 y - y 2   ,     1 ≤ y ≤ 2 ;     e i x o   y

Passo 1

Essa questão não tem segredo, só precisamos aplicar a função na fórmula da área da superfície:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

A única diferença é que ela está em função de y e não o contrário, a equação fica:

S = ∫ a b 2 π f y 1 + f ' y 2 d y

Vamos derivar a função dada, para acharmos f ' y .

Usando a regra da cadeia:

f ' y = 1 2 4 y - y 2 ⋅ 4 - 2 y

f ' y = 2 - y 4 y - y 2

Aplicando na integral, com limites de integração a = 0 e b = 1 :

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   1 + 2 - y 4 y - y 2 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   1 + y 2 - 2 y + 4 4 y - y 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   4 y - y 2 + y 2 - 4 y + 4 4 y - y 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   4 4 y - y 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 4 y - y 2   4 4 y - y 2 d y

S = ∫ 0 1 2 π 2 d y

S = 4 π y 0 1

S = 4 π 1 - 0

S = 4 π

Resposta

S = 4 π

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Nos Exercícios 21-24, determine as áreas de superfícies geradas pela rotação das curvas em torno dos eixos dados.22. y = x 3 / 3, 0 ≤ x ≤ 1 ; e i x ox
Esboce a região delimitada pelas curvas, e visualmente estime a localização do centroide. A seguir, calcule as coordenadas exatas do centroide. 25 .y = 4 - x 2 , y = 0
40 - Conforme visto no Exercício 39, o centroide do semicírculo y = a 2 - x 2 está no ponto ( 0,2 a π ). Determine a área da superfície gerada pela rotação do semicírculo em torno da reta a = y .
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