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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 31

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

31-

y = c o t g - 1 ( t )

Passo 1

A função pode ser escrita da seguinte forma:

c o t g y = t

Passo 2

Fazendo a derivada da função em relação a t d d t   nos dois lados temos:

d d t c o t g y = 1 2 t

Fazendo a derivada da cotangente nós temos:

d d y c o t g   y = d d x cos ⁡ y sin ⁡ y = ( cos ⁡ y ) ' ( sin ⁡ y ) ' - ( cos ⁡ y ) ( sin ⁡ y ) ' sin 2 ⁡ y = - sin 2 y ⁡ - cos 2 ⁡ y sin 2 ⁡ y = - 1 sin 2 ⁡ y

d d y c o t g   y = - c o s s e c 2   y

Aplicando na nossa derivada temos:

- c o s s e c 2   y × d y d t = 1 2 t

d y d t = - 1 2 t   c o s s e c 2 y

Passo 3

Como temos o valor da cotangente de y e não da cossecante precisamos substituir ela na equação. Para isso iremos usar uma adaptação da equação fundamental da trigonometria.

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo todos os termos por sin 2 ⁡ t :

1 + c o t g 2 y = c o s s e c 2 y

Já temos nosso c o s s e c 2 t , substituindo:

d y d t = 1 2 t ( 1 + c o t g 2 y )

Como c o t g   y = t , logo c o t g 2   y = t

Substituindo:

d y d t = 1 2 t ( 1 + t )

Resposta

d y d t = 1 2 t ( 1 + t )

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