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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 44

Resolva o exercício 54 da série de exercícios 8.1, mostrando que arctan ⁡ x e - arctan ⁡ 1 x diferem por uma constante e então calcule-a.

Passo 1

No exercício 54 da seção 8.1 nós mostramos que

arctan ⁡ x + arctan ⁡ 1 x = π 2

Neste problema temos que mostrar essa mesma relação de uma forma diferente. Primeiro temos que mostrar que as funções f x = arctan ⁡ x e g x = - arctan ⁡ 1 x diferem por uma constante e em seguida calcular essa constante.

Para provarmos isso, vamos derivar as duas funções:

f ' x = arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

g ' x = - arctan ⁡ 1 x ' = - 1 1 + 1 x 2 ⋅ 1 x ' = - x 2 x 2 + 1 ⋅ - 1 x 2 = 1 1 + x 2

Temos então que f ' x = g ' ( x ) . Assim, f e g devem diferir por uma constante:

f x = g x + C

Logo,

arctan ⁡ x = - arctan ⁡ 1 x + C ⇒ arctan ⁡ x + arctan ⁡ 1 x = C

Passo 2

Como essa relação deve valor para qualquer x , vamos substituir x = 1 para achar C :

arctan ⁡ 1 + arctan ⁡ 1 1 = C ⇒ C = 2 ⋅ π 4 = π 2

Assim,

arctan ⁡ x + arctan ⁡ 1 x = π 2

Resposta

Demonstração.

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