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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 38

Dada f (x) = int_2^x sqrt(9 + t^4) d t . Prove que f tem uma inversa f^(- 1) e calcule ( f^(- 1) ) ' ( 0 ) .

Passo 1

O bizu desta questão é buscar a derivada de f ( x ) sem tentar calcular f ( x ) . Vamos aplicar essa ideia devagar para não nos perdemos!

int_2^x sqrt(9 + t^4) d t = F (x) - F ( 2 )

Onde F ( t ) é uma primitiva! Note ainda que F (2) vai ser uma constante embora nos não saibamos seu valor. Assim teremos:

f (x) = F (x) - F (2)

Derivando dos dois lados:

f^' (x) = D_x (F (x) - F (2))

Como já falamos F (2) é constante logo sua derivada é igual a zero. Assim teremos:

f^' (x) = sqrt(9 + x^4)

Note para qualquer valor de x real f^' (x) será positivo ( f^' (x) > 0 ) !! Logo podemos dizer que f (x) é crescente no mesmo intervalo, ou seja, nos Reais.

Por outro lado, sabemos que há um teorema que diz que se uma função é crescente (ou decrescente) em um intervalo, ela será bijetora. Deste modo, chegamos a conclusão que f^(- 1) (x) existe!

Passo 2

Agora, para prosseguir devemos nos lembrar de que:

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c)) , onde f ( c ) = d .

Então para calcular ( f^(- 1) ) ' ( 0 ) devemos descobrir c tal que f ( c ) = 0

Lembrando que int_a^a h ( t ) d t = 0 , podemos notar que f (2) = 0

f (2) = int_2^2 sqrt(9 + t^4) d t = 0

Logo descobrimos que c = 2

Passo 3

Calculando f ' (2) , teremos:

f^' (2) = sqrt(9 + 2^4)

f^' (2) = sqrt(25) = 5

Sabendo que (f^(- 1))^' (0) = (1)/(f^' (2)) , chegamos em:

(f^(- 1))^' (0) = (1)/(5)

Resposta

(f^(- 1))^' (0) = (1)/(5)

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Determine a derivada.i) y = x 2 e a r c t g 2 x
Determine a derivada.m) f x = e - xa r c t g e x t gx
Determine a derivada.c) g ( x ) = a r c s e n ( x 3 )
Determine a derivada.e) y = 3 a r c t g (2 x + 3)
Determine a derivada.g) y = e 3 xa r c s e n ( 2 x )